Обчислення Ісаака Ньютона фактично розпочалося в 1665 р. З його відкриття загального біноміального ряду (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2! ∙ x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3! ∙ x 3 + ⋯ для довільних раціональних значень n . За допомогою цієї формули йому вдалося знайти нескінченні ряди для багатьох алгебраїчних функцій (функцій y від x, які задовольняють поліноміальне рівняння p ( x , y) = 0). Наприклад, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ та 1 / Квадратний корінь з √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) −1/2 = 1 + 1/2 ∙ x 2 + 1 ∙ 3/2 ∙ 4 ∙ x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ x 6 + ⋯.
Вікторина Астрономія та космічна вікторина Як називається видима частина Сонця? У свою чергу, це призвело Ньютона до нескінченних рядів для інтегралів алгебраїчних функцій. Наприклад, він отримав логарифм шляхом інтегрування сили х в серії для (1 + х ) -1 один за іншим, колоди (1 + х ) = х - х 2/ 2 + х 3/ 3 - х 4 / 4 + х 5/ 5 - х 6/ 6 + ⋯, і ряд арксинус шляхом інтегрування серії 1 / корінь квадратний з √ (1 - х 2), SIN-1 ( х ) = х + 1/ 2 ∙х 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4 ∙ х 5/ 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ х 7/ 7 + ⋯.
Нарешті, Ньютон увінчав цю віртуозну продуктивність обчисленням зворотного ряду для x як ряду за степенями y = log ( x ) та y = sin − 1 ( x ) відповідно, знаходячи експоненціальний ряд x = 1 + y / 1! + У 2/ 2! + У +3 / 3! + У +4 / 4! + ⋯ і синус серії х = у - у +3 / 3! + У 5/ 5! - y 7 /7! + ⋯.
Зауважимо, що єдиною диференціацією та інтегруванням Ньютона були сили степенів x , а реальна робота передбачала алгебраїчне обчислення з нескінченними рядами. Справді, Ньютон розглядав числення як алгебраїчний аналог арифметики з нескінченними десятковими знаками , і він писав у своєму " Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum" (1671; "Трактат про метод серій і флюксів"):
Я вражений тим, що нікому (якщо вам не вистачало Н. Меркатора та його квадратури гіперболи) не спало на думку пристосовувати доктрину, нещодавно встановлену для десяткових чисел, до змінних, тим більше, що тоді шлях відкритий для більш вражаючих наслідків. Оскільки, оскільки ця доктрина у видів має таке саме відношення до алгебри, що доктрина десяткових чисел має загальну арифметику, її операції додавання, віднімання, множення, ділення та вилучення коренів можна легко вивчити з останньої.
Для Ньютона такі обчислення були втіленням числення. Вони можуть бути знайдені в його De Methodis та рукописі De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; «Про аналіз за рівняннями з нескінченною кількістю термінів»), до яких він був написаний після того, як його логарифмічна серія була перевідкрита та опублікована Микола Меркатор. Ньютон ніколи не закінчував " Де методіс" , і, незважаючи на ентузіазм тих небагатьох, кому дозволив читати " Де Аналісі" , він утримував його від публікації до 1711 р. Це, звичайно, лише зашкодило йому в першочерговій суперечці з Готфрідом Вільгельмом Лейбніцам.
